Question

如图，过原点O的直线与双曲线y＝交于上A（m，n）、B，过点A的直线交x轴正半轴于点D，交y轴负半轴于点E，交双曲线y＝于点P．

（1）当m＝2时，求n的值；

（2）当OD：OE＝1：2，且m＝3时，求点P的坐标；

（3）若AD＝DE，连接BE，BP，求△PBE的面积．

Answer

（1）3；（2）P（﹣2，﹣3）；（3）3.

【解析】

（1）把A（2，n）代入解析式即可求出n；（2）先求出A点坐标，设OD＝a，则OE＝2a，得D（a，0），E（0，﹣2a），直线DE的解析式为y＝2x﹣2a，把点A（3，2）代入求出a，再联立两函数即可求出交点P；（3）由AD＝DE，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，故A（m，n），E（0，﹣n），D（m，0），求得直线DE的解析式为y＝x﹣n，又mn＝6，得y＝x﹣n，与y＝联立得，即为P点坐标，由直线AB的解析式为y＝x与双曲线联立解得B（﹣m，﹣n），再根据S△PBE＝BE×|yE﹣yP|＝×m×|﹣n﹣（﹣2n）|求出等于3.

【解析】
（1）∵点A（m，n）在双曲线y＝上，

∴mn＝6，

∵m＝2，

∴n＝3；

（2）由（1）知，mn＝6，

∵m＝3，

∴n＝2，

∴A（3，2），

∵OD：OE＝1：2，

设OD＝a，则OE＝2a，

∵点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，

∴D（a，0），E（0，﹣2a），

∴直线DE的解析式为y＝2x﹣2a，

∵点A（3，2）在直线y＝2x﹣2a上，

∴6﹣2a＝2，

∴a＝2，

∴直线DE的解析式为y＝2x﹣4①，

∵双曲线的解析式为y＝②，

联立①②解得，（点A的横纵坐标，所以舍去）或，

∴P（﹣2，﹣3）；

（3）∵AD＝DE，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，A（m，n），

∴E（0，﹣n），D（m，0），

∴直线DE的解析式为y＝x﹣n，

∵mn＝6，

∴m＝，

∴y＝x﹣n③，

∵双曲线的解析式为y＝④，

联立③④解得，

∴（点A的横纵坐标，所以舍去）或，

∴P（﹣2m，﹣2n），

∵A（m，n），

∴直线AB的解析式为y＝x⑤．

联立④⑤解得，（点A的横纵坐标，所以舍去）或

∴B（﹣m，﹣n），

∵E（0，﹣n），

∴BE∥x轴，

∴S△PBE＝BE×|yE﹣yP|＝×m×|﹣n﹣（﹣2n）|＝mn＝3．