Question

问题原型：在图①的矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．

操作与探究：在图②，图③的矩形ABCD中，AB=4，BC=8点E、F分别在BC、CD边上，试利用正方形网格分别作出两图中矩形ABCD的反射四边形EFGH，并求出每个反射四边形EFGH的周长．

发现与应用：由前面的操作可以发现一个矩形有不同的反射四边形，且这些反射四边形的周长都相等，若在图①矩形MNPQ中，MN=3，NP=4则其反射四边形EFGH的周长为______．

Answer

(1)见解析；（2）8；（3）10

【解析】

(1)、根据反射四边形的含义和E、F点的位置画出即可；(2)、根据勾股定理求出边长，即可求出周长；(3)、延长GH交PN的延长线于点A，过点G作GK⊥NP于K，证明Rt△FPE和Rt△FPB全等，从而求出GB的长度，根据四边形周长等于2GB得出答案．

（1）作图如下：

（2）在图2中，EF=FG=GH=HE==2，∴四边形EFGH的周长为4×2=8，

在图3中，EF=GH=，FG=HE==3，

∴四边形EFGH的周长为2×+2×3=2+6=8．

（3）如图4，延长GH交PN的延长线于点A，过点G作GK⊥NP于K，

∵∠1=∠2，∠1=∠5，∴∠2=∠5．

在△FPE和△FPB中，，∴Rt△FPE≌Rt△FPB（ASA），∴EF=BF，EP=PB，

同理：AH=EH，NA=EN．∴AB=2NP=8．∵∠B=90°﹣∠5=90°﹣∠1，∠A=90°﹣∠3，

∴∠A=∠B．∴GA=GB．则KB=AB=4，∴GB==5，

∴四边形EFGH的周长为：2GB=10．