Question

如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD =16. 点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ =2， 则四边形AEPQ周长的最小值为_________．（结果保留根号）

Answer

7+

【解析】

试题将菱形ABCD放置在平面直角坐标系中，使得B为原点，BD在x的正半轴上，根据题意得出A、B、E三点的坐标，将A平行向左移动2个单位到A'点，作A'关于x轴的对称点F，则F（6，-6），连EF，交x轴于点P，在x轴上向正方向上截取PQ=2，此时四边形AEPQ的周长最小，AQ+EP=A'P+EP=FP+EP=EF，由此即可得出结论．

试题解析：如图所示：

将菱形ABCD放置在平面直角坐标系中，使得B为原点，BD在x的正半轴上，

∵菱形ABCD的边长是10，对角线BD=16，点E是AB的中点，

∴A（8，6），B（0，0），E（4，3），将A平行向左移动2个单位到A'点，则A'（6，6），作A'关于x轴的对称点F，则F（6，-6），连EF，交x轴于点P，在x轴上向正方向上截取PQ=2，

此时，四边形AEPQ的周长最小，

∵AE==5，PQ=2，AQ+EP=A′P+EP=FP+EP=EF，

∴四边形四边形AEPQ的周长=5+2+=7+．