Question

如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．

（1）求证：△AEF≌△DEC；

（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

Answer

（1）详见解析；（2）：若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形，理由详见解析.

【解析】

（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等；
（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB=AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．

（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，

∵点E为AD的中点，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEC中，

∴△AEF≌△DEC（AAS）；

（2）【解析】
若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵△AEF≌△DEC，

∴AF＝CD，

∵AF＝BD，

∴CD＝BD；

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴∠ADB＝90°，

∴平行四边形AFBD是矩形．