Question

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）是抛物线y=ax²+2x-c上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P．

（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标；

（2）求∠CAB的正切值；

（3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ与△ACP相似，求点Q的坐标．

Answer

（1）y=-x2+2x+2，点C的坐标为（1，3）；（2）tan∠CAB=；（3）Q（1，）．

【解析】

（1）先根据点B（0，2）向上平移6个单位得到点B'（0，8），将A（4，0），B'（0，8）分别代入y=ax2+2x-c，得原抛物线为y=-x2+2x+8，向下平移6个单位后所得的新抛物线为y=-x2+2x+2，据此求得顶点C的坐标；

（2）根据A（4，0），B（0，2），C（1，3），得到AB2=20，AC2=18，BC2=2，进而得出AB2=AC2+BC2，根据∠ACB=90°，求得tan∠CAB的值即可；

（3）先设抛物线的对称轴x=1与x轴交于点H，根据=，求得PH=AH=，进而得到P（1，），再由HA=HC=3，得∠HCA=45°，根据当点Q在点C下方时，∠BCQ=∠ACP，因此△BCQ与△ACP相似分两种情况，根据相似三角形的性质即可得到点Q的坐标．

【解析】
（1）点B（0，2）向上平移6个单位得到点B'（0，8），

将A（4，0），B'（0，8）分别代入y=ax2+2x-c，得

，

解得，

∴原抛物线为y=-x2+2x+8，向下平移6个单位后所得的新抛物线为y=-x2+2x+2，

∴顶点C的坐标为（1，3）；

（2）如图2，由A（4，0），B（0，2），C（1，3），得

AB2=20，AC2=18，BC2=2，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°，

∴tan∠CAB===；

（3）如图3，设抛物线的对称轴x=1与x轴交于点H，

由==，得PH=AH=，

∴P（1，），

由HA=HC=3，得∠HCA=45°，

∴当点Q在点C下方时，∠BCQ=∠ACP，

因此△BCQ与△ACP相似分两种情况：

①如图3，当=时，=，

解得CQ=4，

此时Q（1，-1）；

②如图4，当=时，=，

解得CQ=，

此时Q（1，）．