Question

如图，是一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层；第二层每边两个点；第三层每边有三个点，依此类推：

（1）填写下表：

层数	1	2	3	4	5	6	……
该层的点数							……
所有层的点数							……

（2）每层点数是如何随层数的变化而变化的？所有层的总点数是如何随层数的变化而变化的？

（3）此题中的自变量和因变量分别是什么？

（4）写出第n层所对应的点数，以及n层的六边形点阵的总点数；

（5）如果某一层的点数是96，它是第几层？

（6）有没有一层，它的点数是100？为什么？

Answer

(1)见解析；（2）每层点数是随层数增加而增加，所有层的总点数是随层数的增加而增加；;(3) 自变量是层数，因变量是点数;(4) 第n层上的点数为6n-6, n层六边形点阵的总点数为1+3n（n-1）；（5）在第17层；（6）没有一层，它的点数为100点，理由见解析

【解析】

（1）观察点阵可以写出答案；

（2）观察由（1）中表格得出结论；

（3）根据自变量、因变量的定义即可得出结论；
（4）根据六边形有六条边，则第一层有1个点，第二层有2×6-6=6（个）点，第三层有3×6-6=12（个）点，进一步得出第n层有6（n-1）个点，总点数根据求和公式列式计算即可；
（5）将96代入6n-6求得答案即可；
（4）将100代入6n-6建立方程求解即可判定；

（1）如表：

层数

1

2

3

4

5

6

该层对应的点数

1

6

12

18

24

30

所有层的总点数

1

7

19

37

61

91

（2）每层点数是随层数增加而增加，所有层的总点数是随层数的增加而增加；

（3）自变量是层数，因变量是点数；

（4）第一层上的点数为1；
第二层上的点数为6=1×6；
第三层上的点数为6+6=2×6；
第四层上的点数为6+6+6=3×6；
…
第n层上的点数为（n-1）×6＝6n-6．
所以n层六边形点阵的总点数为:
1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+6[（1+2+3+…+n-1）+（n-1+n-2+…+3+2+1）]÷2
=1+6×=1+3n（n-1）；
（5）第n层有（6n-6）个点，
则有6n-6=96，
解得n=17，
即在第17层；
（6）6n-6=100
解得n=，不合题意，所以没有一层，它的点数为100点.