Question

在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：

m	2	3	3	4	…
n	1	1	2	3	…
a	2^2+1^2	3^2+1^2	3^2+2^2	4^2+3^2	…
b	4	6	12	24	…
c	2^2﹣1^2	3^2﹣1^2	3^2﹣2^2	4^2﹣3^2	…

其中m、n为正整数，且m＞n．

（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．

（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a=　 　，b=　　，c=　　．

（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．

Answer

（1）a、b、c的值能为直角三角形三边的长；（2）a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．

【解析】

试题（1）计算出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判断即可；

（2）根据给出的数据总结即可；

（3）分别计算出a2、b2、c2，根据勾股定理的逆定理进行判断．

【解析】
（1）当m=2，n=1时，a=5、b=4、c=3，

∵32+42=52，

∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；

（2）观察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；

（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，

∵a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4，

b2+c2=m4﹣2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，

∴a2=b2+c2，

∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．