Question

如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE。连结DC、BE交于F点。

（1）求证：△DAC≌△BAE；

（2）求证：DC⊥BE；

（3）求证：∠DFA=∠EFA.

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

(1)由题意可得AD=AB，AC=AE，由∠DAB=∠CAE=90°，可得到∠DAC=∠BAE，从而可证△DAC≌△BAE；

(2)由(1)可得∠ACD=∠AEB，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论；

(3)作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论．

证明：(1)∵ ，

∴，

即，

又∵，AC=AE，

∴△DAC≌△BAE；

（2）∵△DAC≌△BAE，

∴∠ACD=∠AEB，

∵ ，

，

∴，

∴，

∴；

(3)作于，于，

∵≌

∴，，

∴，

∴，

∴是的平分线，

即.

故答案为：(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.