Question

一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中四边形PRBA，RQDC，QPFE为正方形。记正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为，，， RH⊥PQ，垂足为H。

（1）若PR⊥QR，=16，=9，则=         ，RH=          ；

（2）若四边形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为25m²、13m²、36m²

①求△PRQ的面积；

②请判断△PRQ和△DEQ的面积的数量关系，并证明你的结论；

③六边形花坛ABCDEF的面积是　　　　m²．

Answer

(1)25，2.4；(2)①9，②S△PRQ=S△DQE，证明见解析，③110.

【解析】

(1)由s1=16，s2=9，可知PR=4，RQ=3，利用勾股定理求出PQ=5，即可得解；

(2)①方法一：设PH=a，则QH=6-a，在Rt△PRH和Rt△QRH中分别利用勾股定理表示RH2，列出方程即可求出a，再利用勾股定理求出RH，即可求出△PRQ的面积；

方法二：设RH=h，利用勾股定理得出PH==，QH==，根据PQ=6得到=6﹣，两边平方可求出h，即可得解；

②延长RQ到点M,使QM=RQ,连结PM，易证△DQE≌△MQP，得到S△DQE=S△MQP，由RQ=QM等底同高的三角形面积相等可知S△PRQ=S△MQP，等量代换得出S△PRQ=S△DQE；

③由①②可知，S△PRQ=S△DQE=S△BCR=S△APF，即可得解.

【解析】
(1)∵s1=16，s2=9，

∴PR=4，RQ=3，

∵PR⊥QR，

∴PQ==5，

∴s3=25，RH==2.4；

(2)①方法一：设PH=a，则QH=6-a，

∵，

∴，

解得：a=4，

∴=25-16=9，

∴RH=3，

∴S△PQR=×6×3=9；

方法二：如图，RH⊥PQ于H，设RH=h，

在Rt△PRH中，PH==，

在Rt△RQH中，QH==，

∴PQ=+=6，

=6﹣，

两边平方得，25﹣h2=36﹣12+13﹣h2，

整理得，=2，

两边平方得，13-h2=4，

解得h=3，

∴S△PQR=×6×3=9；

②S△PRQ=S△DQE，

证明：延长RQ到点M,使QM=RQ,连结PM，

∵QD=QM，∠DQE=∠MQP，QE=QP，

∴△DQE≌△MQP，

∴S△DQE=S△MQP，

∵RQ=QM，

∴S△PRQ=S△MQP，

∴S△PRQ=S△DQE；

③由②可知S△PRQ=S△DQE，同理S△PRQ=S△APF，

∵RB=RP，∠BRC=∠PRQ，RC=RQ，

∴△BRC≌△PRQ，

∴S△BRC=S△PRQ，

∵S△PQR=9，

∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110m2．

故答案为：(1)25，2.4；(2)①9，②S△PRQ=S△DQE，证明见解析，③110.