Question

如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝9，AB＝CD＝15．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，求DE的长度

Answer

DE＝3或27．

【解析】

分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．

如图1，

∵折叠，∴△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，

∵∠AD′B＝90°，∴B、D′、E三点共线，

∵∠ABD′=∠BEC，∠AD′B=∠C＝90°，AD′＝BC，

∴ABD′≌△BEC，∴BE＝AB＝15，

∵BD′＝＝＝12，

∴DE＝D′E＝15﹣12＝3；

如图2，

∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″，

在△ABD″和△BEC中，

，

∴△ABD″≌△BEC，

∴BE＝AB＝15，∴DE＝D″E＝15+12＝27．

综上所知，DE＝3或27．