Question

如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．

（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选

方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB)．（如图2）

方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM)(如图3）

从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．

（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时?△ABQ为等腰三角形？

Answer

（1）方案1更合适；（2）当DQ=3或时，△ABQ为等腰三角形．

【解析】

（（1）分别求出两种路线的长度，比较即可；

（2）如图，①AQ1=AB=5或AQ4=AB=5时，②AB=BQ2=5或AB=BQ5=5时，③当AQ3=BQ3时，根据勾股定理即可得到结论．

【解析】
（1）方案1：

过点A作AE⊥BD于点E，

∵BD=4，AC=1，

∴BE=3，

∴AB=，

∴ AC+AB=1+5=6；

方案2：

过点A′作A′H⊥BD于点H，则BH=4+1=5，

∴A′B=，

∵6<，

∴方案1路线短，更合适；

（2）如图，G为CD中点，

①AQ1=AB=5或AQ4=AB=5时，

CQ1=CQ4==2，

∴QG=2+2（舍去）或2-2（舍去）；

②AB=BQ2=5或AB=BQ5=5时，

DQ==3，

∴QG=3-2=1或3+2=5（舍去），

③当AQ3=BQ3时，

（GQ3+2）2+12=（2-GQ3）2+42，

解得：GQ3=，

DQ=2-=．

故当DQ=3或时，△ABQ为等腰三角形．