Question

如图，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直线y=x上的一条动线段且PQ=（Q在P的下方），当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为______．

Answer

（，）

【解析】

作点B关于直线y=x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN∥PQ，并沿MN把点A向下平移单位后得A'（2，0），连接A'B'交直线y=x于点Q，求出直线A'B'解析式，与y=x组成方程组，可求Q点坐标．

【解析】
作点B关于直线y=x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN∥PQ，并沿MN把点A向下平移单位后得A'（2，0），连接A'B'交直线y=x于点Q，如图，

∵AA'=PQ=，AA'∥PQ，

∴四边形APQA'是平行四边形．

∴AP=A'Q．

∵AP+PQ+QB=B'Q+A'Q+PQ且PQ=．

∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小．

根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小．

∵B'（0，1），A'（2，0），

∴直线A'B'的解析式y=-x+1．

∴x=-x+1．即x=，

∴Q点坐标（，）．

故答案是：（，）．