Question

已知关于x的一元二次方程x²﹣（2k﹣1）x+k²+k﹣1=0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若此方程的两实数根x₁，x₂满足x₁²+x₂²=11，求k的值．

Answer

（1）k≤；（2）k=﹣1．

【解析】

（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得；

（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．

（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，

∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，

解得k≤；

（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，

∵x12+x22=11，

∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，

∵k≤，

∴k=4（舍去），

∴k=﹣1．