Question

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．

（1）求一次函数、反比例函数的解析式；

（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；

（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）y＝x+1；y＝；（2）0＜x＜4；（3）存在；D（8，1）．

【解析】

（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=即可得出m的值，进而得出结论；

（2）利用图象法，写出反比例函数图象想一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可；

（3）根据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行讨论即可．

（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），

∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，

∴P（4，2），B（4，0），

将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：，

解得：，

∴一次函数解析式为y＝x+1，

将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝．

（2）观察图象可知，kx+b＜时，x的取值范围0＜x＜4．

（3）如图所示，

∵点C（0，1），B（4，0）

∴BC＝，PC＝，

∴以BC、PC为边构造菱形，

当四边形BCPD为菱形时，

∴PB垂直且平分CD，

∵PB⊥x轴，P（4，2），

∴点D（8，1）．

把点D（8，1）代入y＝，得左边＝右边，

∴点D在反比例函数图象上．，

∵BC≠PB，

∴以BC、PB为边不可能构造菱形，

同理，以PC、PB为边也不可能构造菱形．

综上所述，点D（8，1）．