Question

已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点P为矩形外一点且满足AP=PC，AP⊥PC，PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．

（1）若AP=5，AB=BC，求矩形ABCD的面积；

（2）若CD=PM，试判断线段AC、AP、PN之间的关系，并证明．

Answer

（1）15；（2）AC=AP+PN，证明详见解析.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质可得AC=AP=5，由勾股定理可求AB=，BC=3，即可求矩形ABCD的面积；

（2）由矩形的性质可得∠ADC=∠APC=90°，可证点A，点C，点D，点P四点共圆，可得∠PDA=∠PCA=45°，∠PCD=∠PAD，∠DPC=∠DCA，由“ASA”可证△ADE≌△ADC，△PAN≌△PEC，可得AC=AE，PN=PE，即可得结论．

【解析】
（1）∵AP=PC，AP⊥PC，

∴AC=AP=5

∵AB2+BC2=AC2，AB=BC，

∴AB=，BC=3

∴S四边形ABCD=AB×BC=15

（2）AC=AP+PN

如图．延长AP，CD交于点E

∵AP=PC，AP⊥PC，

∴∠APC=90°，∠PAC=∠PCA=45°

∵四边形ABCD是矩形

∴∠ADC=90°，

∴∠ADC=∠APC

∴点A，点C，点D，点P四点共圆

∴∠PDA=∠PCA=45°，∠PCD=∠PAD，∠DPC=∠DCA，

∵PM⊥PD

∴∠PMD=∠PDM=45°

∴PM=PD，且PM=CD

∴PD=CD，

∴∠DPC=∠DCP

∴∠PAD=∠DAC，且AD=AD，∠ADE=∠ADC=90°

∴△ADE≌△ADC（ASA）

∴AC=AE，

∵AP=PC，∠APC=∠EPC=90°，∠PCE=∠PAD

∴△PAN≌△PEC（ASA）

∴PN=PE

∴AC=AE=AP+PE=AP+PN