Question

如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点．

（1）如图1，求⊙O的半径；

（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；

（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN．

Answer

（1）2；（2）2；（3）证明见解析.

【解析】

试题（1）由切线的性质和正方形的判定与性质得出⊙O的半径即可；

（2）由垂径定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，再用勾股定理即可得出结论；

（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定与性质得出即可．

试题解析：（1）如图1，连接OD，OC，∵PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点，∴∠ODP=∠OCP=90°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠DOC=90°，OD=OC，∴四边形DOCP是正方形，∵AB=4，∠ODC=∠OCD=45°，∴DO=CO=DC•sin45°=×4=；

（2）如图1，连接EO，OP，∵点E是BC的中点，∴OE⊥BC，∠OCE=45°，则∠E0P=90°，∴EO=EC=2，OP=CO=4，∴PE==；

（3）如图2，在AB上截取BF=BM，∵AB=BC，BF=BM，∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°，∵∠AMN=90°，∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，∴∠FAM=∠NMC，∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°，∴∠DCP=45°，∴∠MCN=135°，∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°，在△AFM和△CMN中，∵∠FAM=∠CMN，AF=MC，∠AFM=∠MCN，∴△AFM≌△CMN（ASA），∴AM=MN．