Question

在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．

（1）求证：△ABP≌△CAQ；

（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

Answer

(1)证明见解析；(2) △APQ是等边三角形．

【解析】

(1)根据等边三角形的性质可得AB＝AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ;

(2)根据全等三角形的性质得到AP＝AQ ，再证∠PAQ ＝ 60°，从而得出△APQ是等边三角形.

证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°，

在△ABP和△ACQ中， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)，

（2）∵△ABP≌△ACQ， ∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，

∵∠BAP+∠CAP=60°， ∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，

∴△APQ是等边三角形.