Question

如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（-4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．

（1）点C的坐标为______，点B的坐标为______；

（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．

①求证：△CMD是等腰三角形；

②当CD=5时，求直线l的函数表达式．

Answer

（0，3） （﹣4，2） (2)见解析 (3) y=x+3

【解析】

试题（1）设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3中得y=3，即可求出C点的坐标；设点B的坐标为（-4，y），把x=-4代入y=x+3中得y=2，即可求出B点的坐标；
（2）①根据对称的性质和平行线的性质，推知∠CMD=∠MCD，故MD=CD，所以CMD是等腰三角形；
②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．利用勾股定理求得CP的长度，然后结合坐标与图形的性质求得点M的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式即可．

试题解析：

（1）如图①，∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线y=x+3经过点B、C，

设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=vx+3x+3中得y=3，

∴C（0，3）；

设点B的坐标为（﹣4，y），把x=4代入y=x+3中得y=2，

∴B（﹣4，2）；

故答案是：（0，3）；（﹣4，2）；

（2）①证明：∵AB∥y轴，

∴∠OCM=∠CMD．

∵∠OCM=∠MCD，

∴∠CMD=∠MCD，

∴MD=CD，

∴CMD是等腰三角形；

②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．

在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP==3，

∴OP=AD=CO+CP=3+3=6，

∴AB=AD﹣DM=6﹣5=1，

∴点M的坐标是（﹣4，1）．

设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）．

把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得

，

解得

故直线l的解析式为y=x+3．