Question

如图，抛物线与轴交于点A（2，0），交轴于点B（0，），直线过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，作DE⊥y轴于点E．设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作PN⊥AD于点N．

⑴填空：=       ，=       ，=       ；

⑵探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶设△PMN的周长为，点P的横坐标为x，求与x的函数关系式，并求出的最大值．

Answer

（1）；（2）点P的坐标是（－2，3）和（－4，1.5）；（3）当x＝－3时，的最大值是15．

【解析】

（1）将A，B两点代入可求出b，c的值，将A点代入可求出k的值；

（2）设出P，M点的坐标，从而得出PM的长，将两函数联立得出点D坐标，可得出CE的长，利用平行四边形的性质可知PM=CE，列出方程求解即可；

（3）利用勾股定理得出DC的长，根据△PMN∽△DCE，得出两三角形周长之比等于相似比，从而得出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可.

【解析】
⑴

因为抛物线经过点A（2，0），B（0，），代入抛物线解析式可得：

，解得，所以抛物线解析式为，因为直线

经过点A（2，0），代入直线解析式得：，解得：，所以直线解析式为：，所以；

⑵ 存在；

设P的坐标是（x，），则M的坐标是（x，，）

∴，

解方程 得：，，

∵点D在第三象限，则点D的坐标是（－8，－7.5），

由y＝得点C的坐标是（0，－1.5），

∴CE＝－1.5－（－7.5）＝6，

由于PM∥y轴，所以当PM＝CE时四边形PMEC是平行四边形。

即＝6,

解这个方程得：x1＝－2，x2＝－4，符合－8＜x＜2，

当x＝－2时，y＝3，当x＝－4时，y＝1.5，

综上所述：点P的坐标是（－2，3）和（－4，1.5）；

⑶ 在Rt△CDE中，DE＝8，CE＝6 由勾股定理得：,

∴△CDE的周长是24，

∵PM∥y轴，∴△PMN∽△DCE，

∴，即化简整理得：l与x的函数关系式是：

，

因为，∴当x＝－3时，的最大值是15．