Question

如图，在正方形ABCD中，AB=，E是AD边上的一点(点E与点A和点D不重合)，BE的垂直平分线交AB于点M，交DC于点N.

(1)证明：MN = BE.

(2)设AE=，四边形ADNM的面积为S，写出S关于的函数关系式.

(3)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？

Answer

（1）证明见解析；（2）S=-x2+x+2；（3）当AE =1时，四边形ADNM的面积S的值最大，最大值是．

【解析】

（1）作辅助线ME、MN，由SAS证明△EBA≌△MNF，从而得证；

（2）连接ME，构造出直角三角形△AME，在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=2-AM，可得（2-AM）2=x2+AM2，解得AM，由（1）△EBA≌△MNF，可得EA=MF，由此DN=AF=AM+MF=AM+AE，即可求得四边形ADNM的面积为-x2+x+2；

（3）根据（2）的答案，利用二次函数的最值问题即可求出．

（1）设MN交BE于P，根据题意，得MN⊥BE，

过N作AB的垂线交AB于F，

在Rt△AEB和Rt△MNF中，

∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°，

∴∠MBP=∠MNF，

又AB=FN，

∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MN=BE；

（2）连接ME，

根据题意，得MB=ME，

在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=2-AM，

∴（2-AM）2=x2+AM2，

解得AM=1-x2，

由（1）△EBA≌△MNF，

∴EA=MF，

∴DN=AF=AM+MF=AM+AE，

∴四边形ADNM的面积S=×AD=×2=2AM+AE=2（1-x2）+x=-x2+x+2，

即所求关系式为S=-x2+x+2；

（3）s=-x2+x+2=-（x2-2x+1）+=-（x-1）2+，

故当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，最大值是．