Question

探寻“勾股数”：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”，勾股数有多少？勾股数有规律吗？

（1）请你写出两组勾股数．

（2）试构造勾股数．构造勾股数就是要寻找3个正整数，使他们满足“两个数的平方和（或差）等于第三数的平方”，即满足以下形式：

①　   　²+　   　²＝　   　²；或②　   　²﹣　   　²＝　   　²

③要满足以上①、②的形式，不妨从乘法公式入手．我们已经知道③（x+y）²﹣（x﹣y）²＝4xy．如果等式③右边也能写成　   　²的形式，就能符合②的形式．

因此不妨设x＝m²，y＝n²，（m、n为任意正整数，m＞n），请你写出含m、n的这三个勾股数并证明它们是勾股数．

Answer

（1）勾股数：3，4，5或6，8，10等；（2）① 3 4 5；或② 6 8 10；③2．证明见解析.

【解析】

根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

（1）勾股数：3，4，5或6，8，10等．

（2）① 3 2+ 4 2＝ 5 2；或② 6 2﹣ 8 2＝ 1O 2

③2．

证明：（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4

（m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4，

（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝4m2n2＝（2mn）2．

∴（m2+n2）2﹣（2mn）2＝（m2﹣n2）2，

∴m2+n2，m2﹣n2，2mn为勾股数．