Question

小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”

（1）小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；

（2）小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）EF⊥AE仍然成立．理由见解析.

【解析】

（1）延长AE交BC的延长线与点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得．

（2）同（1），延长AE交BC的延长线与点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得．

（1）证明：如图①，延长AE交BC的延长线与点M．

∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∠FAE＝∠EAD，

∴∠DAM＝∠M，

又∵DE＝EC，∠AED＝∠MEC，

∴△AED≌△MEC，

∴AE＝EM，∠EAD＝∠FAE＝∠M，

∴AF＝FM，

∴FE⊥AE．

（2）【解析】
EF⊥AE仍然成立．理由如下：

如图③，延长AE交BC的延长线与点M，

∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∠FAE＝∠EAD，

∴∠DAM＝∠M，

又∵DE＝EC，∠AED＝∠MEC，

∴△AED≌△MEC，

∴AE＝EM，∠EAD＝∠FAE＝∠M，

∴AF＝FM，

∴FE⊥AE．