Question

如图，以 为原点的直角坐标系中， 点的坐标为（0， 1），直线 交轴于点． 为线段上一动点，作直线，交直线于点． 过点作直线平行于轴，交轴于点 ，交直线于点．

（1）当点在第一象限时，求证：；

（2）当点在第一象限时，设长为，四边形的面积为，请求出与间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）当点在线段上移动时，点也随之在直线上移动，是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使成为等腰直角三角形的点的坐标；如果不可能，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）S=m2﹣m+1（0＜m＜）；（3）使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标为（0，1）或（，1﹣）.

【解析】

（1）由题意可得△OAB为等腰直角三角形，因为MN∥OB，易得△AMP也是等腰直角三角形，进而可得OM=PN，再根据∠OPC=90°，同角的余角相等可得∠MOP=∠NPC，则通过“角边角”即可得证；

（2）设长为，根据题意可用m表示出AM、MP、OM等的长，再根据S=S矩OBNM﹣2S△POM即可得到S与m的函数关系式，然后根据C再第一象限，得出CN的取值范围，进而得到m的取值范围；

（3）分两种情况进行讨论：当C在第一象限时，要使△PCB为等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°，此时P与A重合，则可得P点坐标；当C在第四象限时，PB=BC，在等腰直角三角形PBN中，用m表示出BP的长，进而得到BC的长，由（1）可得MP=NC，则可列出关于m的方程，求得m的值，进而得到P点坐标.

（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°，

∴四边形OBNM为矩形，

∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∴∠APM=∠ABO=45°，

∴∠MAP=∠MPA=45°，

∴AM=PM，

∴OM=AO﹣AM，PN=OB﹣PM，即OM=PN，

又∵∠OPC=90°，

∴∠MPO+∠NPC=90°，

∵∠MPO+∠MOP=90°，

∴∠MOP=∠NPC，

∴（ASA）；

（2）设长为，四边形的面积为，

∵AM=PM=APsin45°=m，

∴OM=1﹣m，

∴S=S矩OBNM﹣2S△POM=（1﹣m）﹣2×（1﹣m）·m

=m2﹣m+1（0＜m＜）；

（3）△PBC可能为等腰三角形.

①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）；

②当C在第四象限，且PB=CB时，有BN=PN=1﹣m，

∴BC=PN=PN=﹣m，

∴NC=BN+BC=1﹣m+﹣m，

由（1）可得：NC=PM=m，

∴1﹣m+﹣m=m，

解得m=1，

∴PM=，BN=1﹣，

∴P（，1﹣）；

由题意可知PC=PB不成立，

则使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标为（0，1）或（，1﹣）.