Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点，点为线段上一动点，延长交抛物线于点，连结．

①当四边形面积为9，求点的坐标；

②设，求的最大值．

Answer

（1）y=x2﹣x﹣4；（2）①点H的坐标为（2，﹣4）或（，﹣）；②m的最大值为.

【解析】

（1）根据题意可设设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），易得C（0，﹣4），利用待定系数法确定函数关系式即可；

（2）①过点H作HM⊥x轴与点M，交BC于点N，设H（h，h2﹣h﹣4），根据S=S梯形ODHM+S△BHM得到关于h的方程，然后求解方程即可；

②设BC的解析式为y=kx+b，将B、C坐标代入求得BC的解析式为y=x﹣4，设H（n，n2﹣n﹣4），N（n，n﹣4），易证△PHN∽△PCD，利用相似三角形的性质与配方法即可得到m的最大值.

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），

∵B（4，0），OB=OC，

∴C（0，﹣4），

代入上式可得：a（0+2）（0﹣4）=﹣4，

解得a=，

∴y=（x+2）（x﹣4）=x2﹣x﹣4；

（2）①过点H作HM⊥x轴与点M，交BC于点N，

设H（h，h2﹣h﹣4），

则S=S梯形ODHM+S△BHM=（1﹣h2+h+4）·h+（﹣h2+h+4）（4﹣h），

整理得﹣h2+h+8=9，

解得h1=2，h2=，

∴点H的坐标为（2，﹣4）或（，﹣）；

②设BC的解析式为y=kx+b，

将B（4，0），C（0，﹣4）代入函数解析式，得

，

解得k=1，b=﹣4，

∴BC的解析式为y=x﹣4，

设H（n，n2﹣n﹣4），N（n，n﹣4），

∴HN= n﹣4﹣（n2﹣n﹣4）=﹣n2+2n，

∵HN∥CD，

∴△PHN∽△PCD，

∴＝﹣n2+n=﹣（n﹣2）2+，

则当n=2时，m=有最大值.