Question

某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？

（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？

Answer

（1）y=-10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；(2) 每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．(3) 每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．

【解析】

（1）根据题意知一件文具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（230-10x），然后根据月销售利润=一件文具的利润×月销售量即可求出函数关系式．

（2）把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中，求出x的值即可．

（3）把y=-10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．

【解析】
（1）根据题意得：y=（30+x-20）（230-10x）=-10x2+130x+2300，

自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；

（2）当y=2520时，得-10x2+130x+2300=2520，

解得x1=2，x2=11（不合题意，舍去）

当x=2时，30+x=32（元）

答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．

（3）根据题意得：

y=-10x2+130x+2300

=-10（x-6.5）2+2722.5，

∵a=-10＜0，

∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，

∵0＜x≤10且x为正整数，

∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），

当x=7时，30+x=37，y=2720（元），

答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．