Question

已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E．

求证：（1）△ADE∽△FDB；

（2）CD²=DE•DF．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；

（2）利用相似三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；

证明：（1）∵DE⊥AB，

∴∠ADE=∠BDF=90°，

∵∠ACB=∠ECF=∠FDB=90°，

∴∠E+∠CFE=90°，∠B+∠DFB=90°，

∵∠CFE=∠DFB，

∴∠E=∠B，

∴△ADE∽△FDB．

（2）∵△ADE∽△FDB，

∴=，

∴AD•DB=DE•DF，

∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，

∴AD=BD=CD，

∴CD2=DE•DF．