Question

如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B在第一象限内．

（1）如图1，写出点B的坐标（　   　）；

（2）如图2，若过点C的直线CD交AB于点D，且把长方形OABC的周长分为3：1两部分，则点D的坐标（　   　）；

（3）如图3，将（2）中的线段CD向下平移，得到C′D′，使C′D′平分长方形OABC的面积，则此时点D′的坐标是（　   　）．

Answer

（1）（3，5）；（2）（3，4）；（3）（3，2）．

【解析】

（1）根据矩形的对边相等可得BC＝OA，AB＝OC，然后写出点B的坐标即可；

（2）先求出长方形OABC的周长，然后求出被分成两个部分的长度，判断出点D一定在AB上，再求出BD的长度即可得解；

（3）先用待定系数法求出直线CD的解析式，根据线段CD向下平移，得到C′D′，设处直线C′D′的解析式，再求出矩形OABC的中心坐标，代入直线C′D′的解析式即可得出结论．

【解析】
（1）∵A（3，0），C（0，5），

∴OA＝3，OC＝5，

∵四边形OABC是长方形，

∴BC＝OA＝3，AB＝OC＝5，

∴点B的坐标为（3，5）．

故答案为（3，5）；

（2）长方形OABC的周长为：2（3+5）＝16，

∵CD把长方形OABC的周长分为3：1两部分，

∴被分成的两部分的长分别为16×＝12，16×＝4，

①C→B→D长为4，点D一定在AB上，

∴BD＝4﹣3＝1，AD＝5﹣BD＝5﹣1＝4，

∴点D的坐标为（3，4），

②C→B→A→O→D长为12时，点D在OC上，OD＝1，不符合题意，

所以，点D的坐标为（3，4）．

故答案为（3，4）；

（3）设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），

∵C（0，5），D（3，4），

∴ 解得

∴直线CD的解析式为

∵直线C′D′由直线CD平移而成，

∴设直线C′D′的解析式为

∵A（3，0），C（0，5），

∴矩形OABC的中心坐标为

∵C′D′平分长方形OABC的面积，

∴直线C′D′过矩形OABC的中心，

∴ 解得a＝2，

∴D′（3，2）．

故答案为：（3，2）．