Question

如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y＝的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象有公共点A，点A的坐标为（8，a），AB⊥x轴，垂足为点B．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点P在线段OB上，若AP＝BP+2，求线段OP的长；

（3）点D为射线OA上一点，在（2）的条件下，若S_△ODP＝S_△ABO，求点D的坐标．

Answer

（1）；（2）5；（3）

【解析】

（1）根据在平面直角坐标系xOy内，函数y＝ 的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象有公共点A，点A的坐标为（8，a），可以求得点A的坐标，进而求得反比例函数的解析式；

（2）根据题意和勾股定理可以求得OP的长；

（3）根据题意可以求得点P的坐标，本题得以解决．

【解析】
（1）∵函数y＝ 的图象过点A（8，a），

∴a＝×8＝4，

∴点A的坐标为（8，4），

∵反比例函数y＝（k≠0）图象过点A（8，4），

∴4＝，得k＝32，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）设BP＝b，则AP＝b+2，

∵点A（8，4），AB⊥x轴于点B，

∴AB＝4，∠ABP＝90°，

∴b2+42＝（b+2）2，

解得，b＝3，

∴OP＝8﹣3＝5，

即线段OP的长是5；

（3）设点D的坐标为（d， d），

∵点A（8，4），点B（8，0），点P（5，0），S△ODP＝S△ABO，

∴，

解得，d＝，

∴d＝，

∴点D的坐标为（，）．