Question

如图1，圆内接四边形ABCD，AD＝BC，AB是⊙O的直径．

（1）求证：AB∥CD；

（2）如图2，连接OD，作∠CBE＝2∠ABD，BE交DC的延长线于点E，若AB＝6，AD＝2，求CE的长；

（3）如图3，延长OB使得BH＝OB，DF是⊙O的直径，连接FH，若BD＝FH，求证：FH是⊙O的切线．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）由弧AD＝弧BC，根据同弧让所对的圆周角相等得∠ABD＝∠BDC得AB∥CD；

（2）由∠BCE＝∠CBA＝∠DAO得∠CBE＝2∠ABD且∠AOD＝2∠ABD；从而得到△AOD∽△CBE，根据相似比得出结果；

（3）要证FH是⊙O的切线，只须证出DF⊥FH即可，作出辅助线是本题的关键．

【解析】
（1）证明：圆内接四边形ABCD，AD＝BC，

∴弧AD＝弧BC，∴∠ABD＝∠BDC

∴AB∥CD

（2）由（1）知，∠BCE＝∠CBA＝∠DAO，

∵∠CBE＝2∠ABD且∠AOD＝2∠ABD

∴△AOD∽△CBE

∴

∴

（3）作FM⊥AH于M，

∵∠ADB＝∠AFB＝∠DAF＝90°

∴四边形AFBD是矩形，

∴FH＝BD＝AF

∴AM＝HM，OM＝BM

∴OF＝BF＝OD

∴∠FOH＝60°，∠OHF＝30°

∠DFH＝90°

又∵DF是⊙O的直径，

∴FH是⊙O的切线．