Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE=CF，

(1)求证：AE是⊙O的直径；

(2)若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)AC=4．

【解析】

（1）由BE=CF，则可证得∠BAE=∠FAC，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可；

（2）连接OC，根据圆周角定理证明△AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得．

(1)证明：∵BE=CF，

∴弧BE=弧CF，

∴∠BAE=∠CAF，

∵AF⊥BC，

∴ADC=90°，

∴∠FAC+∠ACD=90°，

∵∠E=∠ACB，

∴∠E+∠BAE=90°，

∴∠ABE=90°，

∴AE是⊙O的直径；

(2)如图，连接OC，

∴∠AOC=2∠ABC，

∵∠ABC=∠CAE，

∴∠AOC=2∠CAE，

∵OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO=∠AOC，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∵AE=8，

∴AO=CO=4，

∴AC=4．