Question

尺规作图1：

已知：如图，线段AB和直线且点B在直线上

求作：点C，使点C在直线上并且使为等腰三角形．

作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C．

特例思考：

如图一，当时，符合中条件的点C有______个；如图二，当时，符合中条件的点C有______个

拓展应用：

如图，，点M，N在射线OA上，，，点P是射线OB上的点若使点P，M，N构成等腰三角形的点P有且只有三个，求x的值．

Answer

(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或或.

【解析】

根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；

通过画图分析可得，当时，符合中条件的点C有2个，当时，符合中条件的点C有2个；

分三种情形讨论求解即可．

【解析】
如图1中，点，，，即为所求．

如图一，当时，符合中条件的点C有2个；如图二，当时，符合中条件的点C有2个，

当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C都是在点B左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C如图所示：

故答案为2，2．

如图中，当时，当时，有点，当时，有点，当时，有点，此时有3个P点．

如图中，当与OB相切于点时，

是等腰直角三角形，

，

，此时有3个P点．

如图中，当经过点O时，此时只有2个P点，

如图中，与OB相交时，此时有3个P点，

如图中，当与OB相切时，只有2个P点．

此时，

综上所述，当时，有3个P点．

满足条件的x的值为0或或．