Question

如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点B在x轴的正半轴上，OA边在直线y=x上，AB边在直线y=-x+2上．

（1）直接写出：线段OA等于多少，∠AOC等于多少度；

（2）在对角线OB上有一动点P，以O为圆心，OP为半径画弧MN，分别交菱形的边OA、OC于点M、N，作⊙Q与边AB、BC、弧MN都相切，⊙Q分别与边AB、BC相切于点D、E，设⊙Q的半径为r，OP的长为y，求y与r之间的函数关系式，并写出自变量r的取值范围；

（3）若以O为圆心、OA长为半径作扇形OAC，请问在菱形OABC中，在除去扇形OAC后的剩余部分内，是否可以截下一个圆，使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥，若可以，求出这个圆的半径，若不可以，说明理由．

Answer

（1）AO=2，∠AOC=60°；（2）y=2-3r，其中；（3）可以，能截下一个圆，使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥．理由见解析.

【解析】

（1）令y=-x+2=0，则x=2，即：OB=2，AO==2，即可求解；

（2）OABC是菱形，故：点Q在OB上，在Rt△QDB中，∠QBD=30°，则：QB=2QD=2r，即y+3r=2，y=2-3r，其中；

（3）可以．理由：弧AC的长为，设截下的⊙G符合条件，其半径为R，则2πR=，则R=，即可求解．

（1）令y=-x+2=0，则x=2，即：OB=2，

由直线y=x和AB直线y=-x+2的表达式知，∠AOB=∠ABO=30°，

AO==2，

∠AOC=2∠AOB=60°，

故：答案为2，60°；

（2）连结QD、QE，则QD⊥AB，QE⊥BC，

由（1）知：O（0，0），A（，1），B（2，0），C（，-1），

∵QD=QE，∴点Q在∠ABC的平分线上，

又∵OABC是菱形，∴点Q在OB上．

∴⊙Q与弧MN相切于点P，

在Rt△QDB中，∠QBD=30°，

∴QB=2QD=2r，

∴y+3r=2，

y=2-3r，

其中.

（3）可以，

理由：弧AC的长为．

设截下的⊙G符合条件，其半径为R，

则2πR=，

∴R=，

由（2）知，此时OA=y=2，

则⊙Q的半径r=，

∴能截下一个圆，使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥．