Question

已知 x₁、x₂是一元二次方程4kx²﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．

(1)求k的取值范围．

(2)是否存在实数k，使(2x₁﹣x₂)(x₁﹣2x₂)＝﹣成立？若存在求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)k＜0；(2)不存在这样k的值．

【解析】

（1）根据已知可知，方程有两个实数根，那么△≥0，解不等式即可；

（2）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1-x2）（x1-2x2）=-中，进而可求k的值．

(1)∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，

∴△＝b2﹣4ac＝16k2﹣4×4k(k+1)＝﹣16k≥0，且4k≠0，

解得k＜0；

(2)∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝1，x1x2＝，

∴(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)＝2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22＝2(x1+x2)2﹣9x1x2＝2×12﹣9×＝2﹣，

若2﹣＝﹣成立，

解上述方程得，k＝，

∵(1)中k＜0，(2)中k＝，

∴矛盾，

∴不存在这样k的值．