Question

如图1直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，射线OE平分∠AOD．

（1）若∠COE＝40°，则∠BOD＝     ．

（2）若∠COE＝α，求∠BOD（请用含α的代数式表示）；

（3）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．

Answer

（1）80°；（2）2α；（3）∠BOD+2∠COE＝360°，理由见详解．

【解析】

（1）先根据直角计算∠DOE的度数，再根据角平分线的定义计算∠AOD的度数，最后利用平角的定义可得结论；
（2）先根据直角计算∠DOE的度数，再根据角平分线的定义计算∠AOD的度数，最后利用平角的定义可得结论；
（3）设∠BOD=β，则∠AOD=180°-β，根据角平分线的定义表示∠DOE，再利用角的和差关系求∠COE的度数，可得结论．

【解析】
（1）若∠COE＝40°，

∵∠COD＝90°，

∴∠EOD＝90°﹣40°＝50°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOD＝2∠EOD＝100°，

∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°；

（2）∵∠COE＝α，

∴∠EOD＝90﹣α，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOD＝2∠EOD＝2（90﹣α）＝180﹣2α，

∴∠BOD＝180°﹣（180﹣2α）＝2α；

（3）如图2，∠BOD+2∠COE＝360°，理由是：

设∠BOD＝β，则∠AOD＝180°﹣β，

∵OE平分∠AOD，

∴∠EOD＝ ∠AOD＝ ＝90°﹣β，

∵∠COD＝90°，

∴∠COE＝90°+（90°﹣β）＝180°﹣β，

即∠BOD+2∠COE＝360°．

故答案为：（1）80°；（2）2α；（3）∠BOD+2∠COE＝360°，理由见详解．