Question

如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，AD＝BD＝6厘米．

(1)如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，点P运动到BC的中点时，如果△BPD≌△CPQ，此时点Q的运动速度为多少．

(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

Answer

（1）利用SAS公式求证（2）

【解析】

试题（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；（2）因为VQ>VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．

试题解析：(1)①1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等；理由如下：

∵t=1秒，

∴BP=CQ=3(cm)

∵AB=12cm，D为AB中点，

∴BD=6cm，

又∵PC=BC−BP=9−3=6(cm)，

∴PC=BD

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BPD与△CQP中,，

∴△BPD≌△CQP(SAS)，

②∵VP≠VQ，

∴BP≠CQ，

又∵∠B=∠C，

要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，

∵△BPD≌△CPQ，

∴CQ=BD=6.

∴点P的运动时间t==1.5(秒)，

此时VQ= =4(cm/s).

(2)因为VQ>VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，

设经过x秒后P与Q第一次相遇，

依题意得：4x=3x+2×12，

解得：x=24(秒)

此时P运动了24×3=72(cm)

又∵△ABC的周长为33cm，72=33×2+6，

∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇。