Question

如图1，对于平面上不大于的，我们给出如下定义：若点P在的内部或边界上，作于点E，．于点，则称为点P相对于的“优点距离”，记为

            

如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于，点P为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足5，点P运动形成的图形记为图形G．

（1）满足条件的其中一个点P的坐标是  __，图形G与坐标轴围成图形的面积等于  __ ；

（2）设图形G与x轴的公共点为点A，如图3，已知，，求的值；

（3）如果抛物线经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间的物线上（点Q可与A，B两点重合），求当取最大值时，点Q 的坐标．

Answer

（1）满足条件的其中一个点P的坐标是（5，0）；（说明：点P（x，y）的坐标满足x+y=5， 0≤x≤5，0≤y≤5均可），图形G与坐标轴围成图形的面积等于．

（2）d（M，∠AOB）=；

（3）点Q的坐标为（4，）．

【解析】

试题（1）点P（x，y）的坐标满足x+y=5， 0≤x≤5，0≤y≤5均可， 图形G与坐标轴围成图形的面积等于；

（2）作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则MF =1，作MD∥x轴，交OB于点D，作BK⊥x轴于点K．

由点B的坐标为B（3，4），可求得直线OB对应的函数关系式为y=x．从而确定 点D的坐标为D（，1），DM=4-=．从而可得 OB=5，sin∠AOB=，sin∠MDE=sin∠AOB=，继而得ME=DM·sin∠MDE=，从而得d（M，∠AOB）=；

（3）由待定系数法得抛物线对应的函数关系式为y=-x2+2x+；作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N．设点Q的坐标为Q（m，n），其中3≤m≤5，则QH=n=-m2+2m+；同（2）得 sin∠QNG=sin∠AOB=，从而得点N的坐标为N（n，n），NQ=m-n．继而得 QG=m-n，从而得d（Q，∠AOB）=-（m-4）2+， 进而得 当m=4（在3≤m≤5范围内）时，d（Q，∠AOB）取得最大值（）．

此时点Q的坐标为（4，）．

试题解析：（1）满足条件的其中一个点P的坐标是（5，0）；（说明：点P（x，y）的坐标满足x+y=5， 0≤x≤5，0≤y≤5均可）

图形G与坐标轴围成图形的面积等于．

如答图1，作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则MF =1，作MD∥x轴，交OB于点D，作BK⊥x轴于点K．

由点B的坐标为B（3，4），可求得直线OB对应的函数关系式为y=x．∴ 点D的坐标为D（，1），DM=4-=．

∴ OB=5，sin∠AOB=，sin∠MDE=sin∠AOB=，∴ME=DM·sin∠MDE=×=，∴d（M，∠AOB）=ME+MF=+1=；

（3）∵ 抛物线y=-x2+bx+c经过A（5，0），B（3，4）两点，

∴，解得，∴ 抛物线对应的函数关系式为y=-x2+2x+；

如答图2，作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N．

设点Q的坐标为Q（m，n），其中3≤m≤5，则QH=n=-m2+2m+；同（2）得 sin∠QNG=sin∠AOB=．

∴ 点N的坐标为N（n，n），NQ=m-n．∴ QG=NQ·sin∠QNG=（m-n）=m-n．

∴d（Q，∠AOB）=QG+QH=m-n+n=m+n=m+（-m2+2m+）=-（m-4）2+，

∴ 当m=4（在3≤m≤5范围内）时，d（Q，∠AOB）取得最大值．

此时点Q的坐标为（4，）．