Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．（2）最大值为，此时P（2，4）．（3）（，3）或（6，﹣3）．

【解析】

试题（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），根据已知条件求得点C的坐标代入解析式求得a值，即可得抛物线的解析式；（2）作PE⊥x轴于E，交BC于F，易证△CMD∽△FMP，根据相似三角形的性质可得m=，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），用n表示出PF的长，从而得到m、n的二次函数关系式，利用二次函数的性质解决问题即可；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形，分DP是矩形的边和DP是矩形的对角线两种情况求点N的坐标.

试题解析：

（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，设y=a（x+2）（x﹣4），

∵OC=2OA，OA=2，

∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=﹣，

∴y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．

（2）如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F．

∵CD∥PE，

∴△CMD∽△FMP，

∴m==，

∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），

∵BC的解析式为y=﹣x+4，

设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），

∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2，

∴m==﹣（n﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．

（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．

①当DP是矩形的边时，有两种情形，

a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，

有（2）可知P（2，4），代入y=kx+1中，得到k=，

∴直线DP的解析式为y=x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），

由△DOE∽△QOD可得=，

∴OD2=OE•OQ，

∴1=•OQ，

∴OQ=，

∴Q（，0）．

根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，

∴N（2+，4﹣1），即N（，3）

b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，

∵直线PD的解析式为y=x+1，PQ⊥PD，

∴直线PQ的解析式为y=﹣x+，

∴Q（8，0），

根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，

∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．

②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2=x2+1，QP2=（x﹣2）2+42，PD2=13，

∵Q是直角顶点，

∴QD2+QP2=PD2，

∴x2+1+（x﹣2）2+16=13，

整理得x2﹣2x+4=0，方程无解，此种情形不存在，

综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．