Question

长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3^a =27=3²·3^b．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°

(1)求a、b的值；

(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC______．

Answer

(1)a=3，b=1；(2)t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；(3)2：3.

【解析】

（1）根据幂的运算法则即可得出a,b的值；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，可分在灯A射线转到AN之前，与②在灯A射线转到AN之后，两种情况讨论即可求解；（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，可得出∠BAC与∠BCD的数量关系.

【解析】
(1)∵a、b满足3a =27=32·3b，

∴3a =33=32+b，

∴a=3，2+b=3，

∴b=1.

(2)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①在灯A射线转到AN之前，

3t=(20+t)×1

解得t=10；

②在灯A射线转到AN之后，

3t﹣3×60+(20+t)×1=180°，

解得t=85

综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；

(3) 设灯A射线转动时间为t秒，

∵∠CAN=180°-3t，

∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，

又∵PQ∥MN，

∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，

又∠ACD=90°

∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，

∴∠BCD：∠BAC=2:3