Question

阅读下面材料：

在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：

已知：∠ACB是△ABC的一个内角．

求作：∠APB＝∠ACB．

小明的做法如下：

如图

①作线段AB的垂直平分线m；

②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；

③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；

④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．

所以∠APB＝∠ACB．

老师说：“小明的作法正确．”

请回答：

（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA＝OB＝OC）的依据是_____；

（2）∠APB＝∠ACB的依据是_____．

Answer

①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换 同弧所对的圆周角相等

【解析】

（1）根据线段的垂直平分线的性质定理以及等量代换即可得出结论．
（2）根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论．

（1）如图2中，

∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，

∴OA=OB，OB=OC（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），

∴OA=OB=OC（等量代换）

故答案是：

（2）∵，

∴∠APB=∠ACB（同弧所对的圆周角相等）．

故答案是：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等和等量代换；（2）同弧所对的圆周角相等．