Question

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为4，∠F＝30°，求DE的长．

Answer

（1）详见解析；（2）DE＝2．

【解析】

（1）连接OD，AD，根据D、O是BC、AC的中点，可得OD是△ABC的中位线，OD∥AB，∠ODE＝90°.

（2）先证明四边形OGED是矩形，由∠AOG＝∠F＝30°，得DE＝OG＝2.

【解析】
（1）连接OD，AD，

∵AC是⊙O直径，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴点D是BC的中点，

∵O是AC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴∠ODE＝∠BED＝90°，

∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）过点O作OG⊥AB于点G，

∴∠AEF＝∠AGO＝90°，

∴OG∥EF，四边形OGED是矩形，

∴∠AOG＝∠F＝30°，

∵OA＝4，

∴AG＝2，

由勾股定理可知：OG＝2，

∴DE＝OG＝2．