Question

如图，Q是弧AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交弧AB于点C，连接BC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y₁cm，A，C两点间的距离为y₂cm．

小明根据学习函数的经验，分别对函数y₁，y₂，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）确定自变量x的取值范围是    ．

（2）按下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y₁，y₂与x的几组对应值．

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y1/cm	5.62	4.67	3.76		2.65	3.18	4.37
y2/cm	5.62	5.59	5.53	5.42	5.19	4.73	4.11

（3）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y₁），（x，y₂），并面出函数y₁，y₂的图象．

（4）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为    cm．

Answer

（1）0≤x≤6；（2）3；（3）详见解析；（4）3或4.91或5.77．

【解析】

（1）由AB＝6可得0≤x≤6；

（2）PA＝6时,通过表格可得AB＝6，BC＝4.37，AC＝4.11，由勾股定理逆定理可得∠ACB＝90°，所以AB是直径，当x＝3时，PA＝PB＝PC＝3；

（3）根据表格中的数据，描点连线画图即可；

（4）当PA＝PC或PA＝AC或PC＝AC时，根据函数图像可得x即AP的长.

【解析】
（1）∵AB＝6cm，

∴自变量x的取值范围是0≤x≤6；

故答案为：0≤x≤6；

（2）∵PA＝6时，AB＝6，BC＝4.37，AC＝4.11，

∴AB2＝AC2+BC2，

∴∠ACB＝90°，

∴AB是直径．

当x＝3时，PA＝PB＝PC＝3，

∴y1＝3，

故答案为3．

（3）函数图象如图所示：

（4）观察图象可知：当x＝y，即当PA＝PC或PA＝AC时，x＝3或4.91，

当y1＝y2时，即PC＝AC时，x＝5.77，

综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77．

故答案为3或4.91或5.77．