Question

已知：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°

（1）如图①，若∠ACD＝60°，BC＝1，CD＝3，则AC的长为    ；

（2）如图②，若∠ACD＝45°，BC＝1，CD＝3，求出AC的长；

（3）如图③，若∠ACD＝30°，BC＝a，CD＝b，直接写出AC的长．

Answer

（1）4；（2）AC＝2；（3）AC＝（a+b）．

【解析】

（1）延长CD至M，使DM＝BC，连接AM，证明△ABC≌△ADM，可得△ACM为等边三角形，等量代换可得AC＝CM＝CD+DM＝CD+BC＝4；

（2）延长CD至N，使DN＝BC，连接AN，证明△ABC≌△ADN，△ACN为等腰直角三角形，可得AC＝（CD+BC）＝2；

（3）延长CD至H，使DH＝BC，连接AH，作AE⊥CD于E，由（2）可知，AC＝AH，

CE＝（a+b），在Rt△ACE中可求出AC＝（a+b）.

【解析】
（1）延长CD至M，使DM＝BC，连接AM，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADM+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADM，

在△ABC和△ADM中，

，

∴△ABC≌△ADM（SAS）

∴AM＝AC，

∵∠ACD＝60°，AM＝AC，

∴△ACM为等边三角形，

∴AC＝CM＝CD+DM＝CD+BC＝4，

故答案为：4；

（2）延长CD至N，使DN＝BC，连接AN，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADN+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADN，

由（1）得，△ABC≌△ADN，

∴AN＝AC，

∵∠ACD＝45°，AN＝AC，

∴△ACN为等腰直角三角形，

∴AC＝（CD+BC）＝2；

（3）延长CD至H，使DH＝BC，连接AH，作AE⊥CD于E，

由（2）可知，AC＝AH，

∴CE＝（a+b），

在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠ACD＝30°，

∴CE＝AC，

∴AC＝（a+b）×＝（a+b）．