Question

在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），且m≠0，点B的坐标为（n，0），将线段AB绕点B顺时针旋转90°．得到线段BA₁，称点A₁为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图

（1）已知点A（0，4），

①当点B的坐标分别为（1，0），（﹣2，0）时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为    ，    ；

②点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，直接写出y与x之间的关系式；

（2）如图2，点C的坐标为（﹣3，0），以C为圆心，为半径作圆，若在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，直接写出点A的纵坐标m的取值范围．

Answer

（1）①（5，1），（2，﹣2）；②P1（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，y与x之间的关系式为y＝x﹣4；（2）m≤﹣1或m≥1．

【解析】

（1）①构造全等三角形求出点A1坐标即可；②取N（4，0），则OA＝ON，作A1M⊥x轴于M，在△ABO≌△BA1M的条件下可得出△A1MN是等腰直角三角形，所以点A1在经过点N，与x轴的夹角为45°的直线上时，P1（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，易得关系式为y＝x﹣4；

（2）结合②中关系式，可得当直线y＝x﹣m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，可求出 m的范围.

【解析】
（1）①如图1中，作A1M⊥x轴于M．

∵AB＝BA1，∠AOB＝∠A1MB＝90°，易证∠ABO＝∠A1，

∴△ABO≌△BA1M（AAS）

∴OA＝BM，OB＝A1M，

当A（0，4），B（1，0）时，BM＝4，A1M＝1，OM＝5，

∴A1（5，1），

当A（0，4），B（﹣2，0）时，同法可得A1（2，﹣2）．

故答案为（5，1），（2，﹣2）．

②如图2中，取N（4，0），则OA＝ON，作A1M⊥x轴于M．

∵△ABO≌△BA1M，

∴OA＝BM＝ON，OB＝A1M，

∴OB＝MN＝A1M，

∴△A1MN是等腰直角三角形，

∴∠A1NM＝45°，

∴点A1在经过点N，与x轴的夹角为45°的直线上，

易知这条直线的解析式为y＝x﹣4，

∴P1（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，y与x之间的关系式为y＝x﹣4；

（2）如图3中，

由（1）可知，A（0，m）关于B的“伴随点”A1（x，y），

y与x之间的关系式：y＝x﹣m，

由题意可知，当直线y＝x﹣m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，易知相切时m＝±1，

观察图象可知，满足条件的m的范围为：m≤﹣1或m≥1．