Question

如图1，在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥AD于点E，过AE上一点F作FH⊥CD于点H，交CE于点K，且KE=DE．

（1）若AB=13，且cosD=，求线段EF的长；

（2）如图2，连接AC，过F作FG⊥AC于点G，连接EG，求证：CG+GF=EG．

Answer

（1）12；（2）详见解析.

【解析】

（1）首先解直角三角形求出EC，再证明△FEK≌△CED（AAS），推出EF=CE=12即可解决问题；

（2）如图，作EM⊥AC于M，EN⊥GF交GF的延长线于N，连接CF．证明△EGN≌△EGM（AAS），推出EN=EM，∵GN=GM，EF=EC，推出Rt△ENF≌Rt△EMC（HL），推出FN=CM，推出CG+GF=GM+CM+GN-FN=2GM=EG；

（1）【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=13，

∵CE⊥AD，FH⊥CD，

∴∠FHC=∠CED=90°，

在Rt△CDE中，∵cosD==，

∴DE=5，

∴CE==12，

∵∠FEK=∠CED=90°，∠FKE=∠CKE，

∴∠EFK=∠ECD，

∵EK=DE，

∴△FEK≌△CED（AAS），

∴EF=CE=12．

（2）证明：如图，作EM⊥AC于M，EN⊥GF交GF的延长线于N，连接CF．

∵FG⊥AC，CE⊥AD，

∴∠FGC=∠FEC=90°，

∵EF=EC，

∴∠EFC=∠ECF=45°，

∴∠FGC+∠FEC=90°，

∴E，F，G，C四点共圆，

∴∠FGE=∠ECF=45°，∠EGC=∠EFC=45°，

∴∠EGN=∠EGM，∵∠EMG=∠ENG=90°，EG=EG，

∴△EGN≌△EGM（AAS），

∴EN=EM，∵GM=GN，EF=EC，

∴Rt△ENF≌Rt△EMC（HL），

∴FN=CM，

∴CG+GF=GM+CM+GN-FN=2GM=EG．