Question

在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作第2个正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作第3个正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第2个正方形的面积为_____；第2011个正方形的面积为_____．

Answer

5×

【解析】

推出AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝∠ABA1＝90°＝∠DOA，求出∠ADO＝∠BAA1，证△DOA∽△ABA1，得出，求出AB，BA1，求出边长A1C＝，求出面积即可；求出第3个正方形的边长是，面积；第4个正方形的面积是×；依此类推得出第2011个正方形的边长是 ，面积是×，即可得出答案．

【解析】
∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝∠ABA1＝90°＝∠DOA，

∴∠ADO+∠DAO＝90°，∠DAO+∠BAA1＝90°，

∴∠ADO＝∠BAA1，

∵∠DOA＝∠ABA1，

∴△DOA∽△ABA1，

∴，

∵AB＝AD＝＝，

∴BA1＝ ，

∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C＝A1B+BC＝ ，面积是＝×＝×5＝；

同理第3个正方形的边长是+＝＝ ，面积是：＝；

第4个正方形的边长是 ，面积是[]2×；

…

第2011个正方形的边长是 ，面积是×＝5×．

故答案为：，5×．