Question

如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB=，tanA=，AC=，

（1）求∠B 的度数和 AB 的长．

（2）求 tan∠CDB 的值．

Answer

（1）∠B的度数为45°，AB的值为3；（2）tan∠CDB的值为2．

【解析】

（1）作CE⊥AB于E，设CE=x，利用∠A的正切可得到AE=2x，则根据勾股定理得到AC=x，所以x=，解得x=1，于是得到CE=1，AE=2，接着利用sinB=得到∠B=45°，则BE=CE=1，最后计算AE+BE得到AB的长；

（2）利用CD为中线得到BD=AB=1.5，则DE=BD-BE=0.5，然后根据正切的定义求解．

（1）作 CE⊥AB 于 E，设 CE＝x，

在Rt△ACE中，∵tanA＝＝，

∴AE＝2x，

∴AC＝＝x，

∴x＝，解得x＝1，

∴CE＝1，AE＝2，

在Rt△BCE中，∵sinB＝，

∴∠B＝45°，

∴△BCE为等腰直角三角形，

∴BE＝CE＝1，

∴AB＝AE+BE＝3，

答：∠B的度数为45°，AB的值为3；

（2）∵CD为中线，

∴BD＝AB＝1.5，

∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5，

∴tan∠CDE=＝＝2，即tan∠CDB的值为2．