Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止．作DE⊥AC交边AB或BC于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．设点D的运动时间为t（s）．

（1）求AC的长．

（2）请用含t的代数式表示线段DE的长．

（3）当点F在边BC上时，求t的值．

（4）设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm²），当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．

Answer

(1)10cm;(2) 当0≤t≤时，DE=t, 当＜t≤10时，DE=（10﹣t）=﹣t+；(3) t= ;(4) 当0＜t≤时，S== t2, 当≤t＜10时，S=（10﹣t）2．

【解析】

试题

（1）根据已知条件由“勾股定理”易得：AC=10cm；

（2）如图1和图2需分点E在AB上和BC上两种情况，结合相似三角形的性质即可求得对应的DE的长；

（3）如图3，由已知易证△CGF∽△CBA，从而可用含“t”的式子表达出GC的长，结合AD+DG+GC=BC=10及AD=t，DG=DE=t，即可求得对应的t的值；

（4）结合（2）、（3）可知当0＜t≤时，重叠部分就是正方形DEFG；当≤t＜10时，重叠部分是四边形DEMG；由已知条件分以上两种情况进行解答即可.

试题解析：

（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，

根据勾股定理得：AC=10cm；

（2）分两种情况考虑：如图1所示，

过B作BH⊥AC，

∵S△ABC=AB·BC=AC•BH，

∴BH=，AH=，

∵∠ADE=∠AHB=90°，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABH，

∴，即 ，

解得：DE=，

则当0≤t≤时，DE=；

如图2所示，

同理得到△CED∽△CBH，

∴，即 ，

解得：DE=（10﹣t）=﹣，

则当＜t≤10时，DE=（10﹣t）=﹣；

（3）如图3所示，

如图3，当点F刚好落在BC边上时，∵∠C=∠C，∠EGC=∠ABC=90°，

∴△FGC∽△ABC，

∴，即 ，

∴GC=，

∵AD+DG+GC=AC=10，

∴，解得：；

（4）如图1所示，当0＜t≤时，S=DE2=；

如图2所示，当≤t＜10时，

∵EF∥CG，

∴△EFM∽△CGM∽△CBA，

∴，即 ，解得：FM=，

∴S=S正方形DEFG-S△EFM

=DE2-DE·FM=.