如图，在菱形四边形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，点P为直线BD上的动...

如图，在菱形四边形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，点P为直线BD上的动点不与点B重合，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段PE，连接CE、BE．

问题发现

如图1，当点E在直线BD上时，线段BP与CE的数量关系为______；______

拓展探究

如图2，当点P在线段BO延长线上时，的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

问题解决

当时，请直接写出线段AP的长度．

（1），（2）成立（3）AP的长为4或【解析】问题发现连接AE，根据菱形的性质可得，，，根据线段垂直平分线的性质可得，由旋转的性质可得是等边三角形，可得，，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的判定，可证，由菱形的性质可得，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得，即可得；拓展探究由等边三角形的性质可得，，，可得，根据“SAS”可证≌，可得，，即可得；问题解决分点E在AC左侧，点E在AC右侧两种情况讨论，根据直角三角形的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求点P的坐标．问题发现,如图，连接AE，四边形ABCD是菱形，，，，，垂直平分AC，，旋转，，是等边三角形，，是等边三角形，，，，故答案为：，拓展探究结论仍然成立，如图，连接AE，由可知：，都是等边三角形，，，，且，， ≌ ，结论仍然成立；问题解决如图，当点E在AC左侧时，，，且与AB重合，，，，，是等边三角形此时点P与点D重合如图，若点E在AC右侧时，，，，，，，，，，，，在中，是等边三角形综上所述：AP的长为4或

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考点分析：

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