Question

如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E

（1）求证：DE＝AB；

（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF＝FC＝1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据矩形的性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAE=∠AFB，∠AED=90°=∠B，根据AAS推出△ABF≌△DEA即可；
（2）根据勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，根据全等三角形的性质得出DE=AB=，∠BAF=30°，根据扇形的面积公式求出即可．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AFB，

∵DE⊥AF，

∴∠AED＝90°＝∠B，

在△ABF和△DEA中

，

∴△ABF≌△DEA（AAS），

∴DE＝AB；

（2）∵BF＝FC＝1

∴BC＝BF+FC=2

由（1）得：△ABF≌△DEA

∴AD＝AF，

∵BC＝AD，

∴AF ＝BC=2,

∵BF＝1，∠ABF＝90°，

∴由勾股定理得：AB＝

∴sin∠BAF＝，

∴∠BAF＝30°

∴扇形ABG的面积＝