Question

如图，∠AOB=30°，M、N分别在OA、OB上，且OM=2，ON=4，点P、Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 _______．

Answer

2

【解析】

作M关于OB的对称点M'，作N关于OA的对称点N'，连接M'N'，可以得出M'N'即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN'为等边三角形，△OMM'为等边三角形，得出∠N'OM'=90°，由勾股定理求出M'N'即可．

作M关于OB的对称点M'，作N关于OA的对称点N'，如图所示：

连接M'N'交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，PQ，QN，则MP+PQ+QN=M'P+PQ+QN'=M'N'，∴M'N'为MP+PQ+QN的最小值．

根据轴对称的定义可知：∠N'OQ=∠M'OB=30°，∠ONN'=60°，∴△ONN'为等边三角形，△OMM'为等边三角形，∴∠N'OM'=90°ON'=ON=4，OM'=OM=2，∴在Rt△M'ON'中，M'N'．

故答案为：2．